NPブログ「Leitmotiv 」言葉・論理・主題連鎖への旅

カテゴリ: 数学

公理的な正しさの中では自らの正しさを証明できない
(クルト・ゲーデル不完全定理よりNP解釈)🐻


正義がある・正義である、という前提のなかでは
真の正義とは何かという正しい答えは存在しない。


今 高1の特進生の教材の核として使用している
『正義の教室』と『NP第0号』です。前者の
冒頭の問いかけの答えは この書の中盤にある?
のかも知れませんが、生徒たちと二週後の授業
で再考するのが楽しみです(来週土曜日は神戸
マラソンの準備ボランティアらしく中止です)。
後者の中の評論のひとつ「人間」vs「AI」は
生徒たちに「考える」大事を提供してくれます。


【不完全性定理地始凍】🧊
ふかんぜんせいていり ちはじめてこおる


🧊・・・
明日11月13日(月)は陰暦十月一日で、
🌑の形は「朔」(新月)になります。
初冬に入ってゆくのです。暦の上で
すでに立冬(11月8日)は過ぎていて
ここでも季節や季感(漸く寒さが…)
のズレに、正しさはあるかと(^^)、
感じてしまいます。七十二候では
明日からの五日間が「地始凍」で
…寒さで大地が凍り始める頃です。


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🐻[参考]
K.ゲーデル(1906~78)が証明した形式論理体系の不完全さを示す数学の定理。直観的にいえば、「世の中には正しいとも正しくないとも判定できないことがいくらでも存在する。そして自分自身の論理の中だけでは自分自身の正しさを証明することもできない」という内容である。この定理が人工知能の限界(すなわちコンピューターには人間のような知能はもてないこと)を証明しているとする主張が、人工知能に否定的な研究者からなされることがある。「人間にはできてコンピューターにはできないことが存在する」とこの定理は証明しているという主張であるが、実はこの定理は人間とコンピューターの原理的な差異にはまったく言及していない。したがって、この定理で人工知能に限界があることの理由とするのは誤りである。(数学者 松原仁教授2008年の発信)

正(生)のなかでは正(生)を証せず


ゲーデルの不完全性定理は、
ここでも生きています。

この本(『正義の教室』)には値打ちがあります、
愛用の手帳によきよきフレーズを書き留めます。


たとえば紙節減を迫る学校現場。

果たしてそれは真の教育、
未来の教育なのでしょうか?

真(正)のなかで真(正)は証明できません。


紙の徒(いたずら)な廃棄には勿論反対ですが、
しかし紙駆逐の風潮にも静かに反対します。


ハロウィンはアイルランドの収穫祭が起源。

わたくしのこの秋の大きな収穫は、
正義とは何か、生死とは何かを、
深く考える時間を持てたことです。


【答え無き問いはよき問いハローウィン】



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2016年2月27日の当ブログ記事プラスで
今、ぜひ読んでいただきたいと考えます。


あの頃も、正しかったのでしょうか?

戦争も宗教も教育も、色んな善意の営為も。


ゲーデルの不完全性定理に関する
三回目で締め括りになっています。
1.2も合わせてお読みいただけると
よいのですが以下の文章だけでも
相当長いものの…分かりやすい…?
(分かりやすさだけが大切な現実?)


最下方※※※※※部以降が本日分です。


《ゲーデルの不完全性定理③》


ゲーデルの不完全性定理について、
WIKIの言葉をさらに分かりやすくしてゆきます。
数学というよりも論理学ですね。

①第1不完全性定理
「ある矛盾の無い理論体系の中に、肯定も否定もできない証明不可能な命題が、必ず存在する」

②第2不完全性定理
「ある理論体系に矛盾が無いとしても、その理論体系は自分自身に矛盾が無いことを、その理論体系の中で証明できない」

数学的には「ある矛盾のない理論体系」とは「公理系」ということです。
数学には、前回お伝えしたように、「大前提」としなければ次に進めないようなことが必ず決まっています。
例えば自然数で、1の次は2とする・・・などでしたね。

つまり上記の定理①②をさらに換言すれば・・・、
①大前提とする「正しいこと」の中に、「正しいとも正しくないとも言えないことが必ずある」。
②大前提で「正しい」としても、その中では「自らが正しいことを証明できない」。
・・・ということですね。


これは有名な哲学者エピメニデスの「クレタ島人のパラドクス」
(当ブログ記事「逆説」カテゴリー参照)と似ています。

「すべてのクレタ島人は嘘つきである」と、
あるクレタ島人が言ったというお話です。 

もしこの言葉が「真実」であればクレタ島人は「嘘つきである」ことになるが、
そのクレタ島人は「嘘つきなのに真実を言った」ことになってしまい、
矛盾している。
一方でこの言葉が「嘘」だとすればクレタ島人は「正直者である」ことになるが、
そのクレタ島人は「正直者なのに嘘を言った」ことになってしまい、
矛盾している。

クレタ島人の言葉が真実でも嘘でも、
どちらも矛盾していることになる。

これは「自分自身について真偽を確かめようとするときに発生してしまうパラドクス」であることから、
一般的に「自己言及のパラドックス」と言われています。


「私は正直者です」と言った場合を考えてみます。
この言葉が「真実」だった場合は正直者が「自分は正直者だ」と真実を言ったことになるので、
問題なく成立するわけですが、
この言葉が「嘘」だった場合でも嘘つきが「自分は正直者だ」と嘘を言ったことになるので、
これも問題なく成立してしまうのです。

「私は正直者です」という命題は、
真偽どちらでも成り立ってしまい、
真とも偽とも言えないということです。


ゲーデルの不完全性定理の意義は、
「自己言及パラドクス」が数学においても発生することを証明したということです。


1930年に数学界の巨匠ダフィット・ヒルベルトは、
「数学理論には矛盾は一切無く、どんな問題でも真偽の判定が可能であること」
を完全証明しようとして全数学者に提唱しました。
「ヒルベルトプログラム」と呼ばれる、
数学全体の完全性と無矛盾性論理的な完成を目指す一大プロジェクトとして、
当時世界中から注目を集めたそうです。

そこへ、若き数学者クルト・ゲーデルが現れ、
「数学理論は不完全であり決して完全には成り得ない」ことを、
数学的に証明してしまったのです。


証明自体の内容については難しいのでワ~プ・・・、
結論として、
あるネット記事(「哲学的な何か、あと数学とか」:このサイトでは『14歳からの哲学入門』を紹介していますね。)からさらに援用編集して換言表現します。

①一見すると完全無欠に見える数学理論の中にも、
「真とも偽とも決められない命題」「証明も反証もできない命題」が含まれている。

②数学理論において証明不能な命題を含むということは、
「正しいとも間違っているとも言えない不明な領域」が数学理論の中にあるということなのだから、
数学理論が「自らの理論体系は完璧に正しい」と証明することは不可能である。


この不完全性定理は、
数学だけではなく哲学・科学・論理学・法律学・経済学など理論体系一般全てに適用できるため、
「論理的に突き詰めていけば、どんな問題についても真偽の判定ができ、それを積み重ねていけば、いつかは真理に辿り着けると信じていた人に大きな衝撃を与えた(上記ネット記事)。」のです。


「ゲーデル・ショック」です。

 
これは、
「ヘーゲル弁証法」による正反合の無限連鎖で、 
自らの発展進化を信じて疑わなかった「近代」自体の、
破綻・敗北を予告していたとも言えるのではないでしょうか。


・・・とすれば、
ここからポスト・モダンが忍びやかに始まったと言えるのかも知れませんね。

1930(昭和5)年・・・、
日本は戦争への足がかりを築き始め(与党民政党の衆議院選挙圧勝)、
世界は日・英・米・仏・伊5か国がロンドン海軍軍縮条約に調印。


正しさの中では自らの正しさを証明できない。


日々思い当たります。
例えば生徒に対する自らの言葉・態度ですね。

猛省です。


正しさの中では正しさを証明できないことを、
謙虚に自問できるような、
潔い一日でありますように・・・。

(wwだから、どんな一日やねんww)


※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
 

正しさの中では正しさを証明できない
まして
過ちの中では過ちを証明する術もなく
戦争は
底なし沼のように人の命を軽んじ続け


メロスは激怒した(『走れメロス』冒頭)
なんて
あたりまえの正しさはもはや笑い種に…
きっと
人の命も問題でないのだ(同上 終盤)
の意味
それは怖ろしく擦り替えられています。


NPはまだ諦めずに正しいか過っているか
どちらでもないのか… 論理も物語も説く
国語&教育の現場にしがみついています。


【過ちの中で寒露の畢りゆく】🍃
   

【正しさの中で寒露の畢りゆく】


この二句が等価にならないように祈る
インフルエンザ職場接種の日の朝です
… 大事(?)をとって早朝ジョグは休止。


🍃畢(おわ)る・・・
物事が尽きておしまいになる。 すっかり済む。



森田真生(まさお)さんは俊英の「独立研究者」
東大理学部数学科から現在は京都拠点の数学者。

故河合隼雄さんはユング分析派の臨床心理学者
京大理学部数学科から奈良で高校数学教師経験。

小川洋子さんは『博士の愛した数学』本屋大賞
早大文学部卒で河合さん最後の対談相手でした。


小川さんは「文系にも数学は面白い」と教えて
貰った作家で藤原正彦さんとの対談集愉しくて。


今夏のJR青春18きっぷがまだ残っているので…
どこか往復だけでもしながら…と考えるものの。


【空蝉は自分のことばで語らず】


空蝉は晩夏の季語なので
もう季節外れになります
… 今夏ずっと記者会見や
公式の挨拶全部がぜんぶ
そうでした… そのかたに
この二冊をオススメです。


【数学は物語だと言って秋】


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『プロカウンセラーの夢分析』は「実際」的です。

「夢中夢」の原理は至ってシンプルでテクストに
よれば…「私は何か悪いことをしてしまって…」
どこかで「夢であったらなあと思っている」現実
を抱えていることにより…夢の中で夢としてみる
「二重のクッションにより夢見者を守っている」
のが「自分でわかる」ということを意味すると…。

ややこしいですが…つまりこういうことですね…
「悪いことは隠しておきたい忘れたいことで…」
「悪いことの内容を直接夢にみるのではなく…」
「夢中夢」として「邪悪な願望をコントロール」
出来るようになる迄「夢をみる夢」にしておく…。

夢の中でこれは夢だとわかっている夢をみること
…それは珍しいことではありません…夢を覚えて
いられないことが多いのは「自分を守る」ことだ
とは意外と「わからない」ものです…「わかる」
ことは時として…おおいに「こわいこと」ですね。

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『知識ゼロでも楽しく読める!数学のしくみ』は
「わかる」というキーワードで繋がれたもう一冊。

「ポアンカレ予想」も又「夢の中の夢」のようだ
と感じながら…「宇宙の形がわかる」という難題
のエピソードを読んでいます…こちらもシンプル
「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相」
…一見ややこしいですね…いやほんとに難解です。

しかし具体的妄想的には…つまりこういうこと…
「どこにロープを置いても、縮めて一点に回収の
できる図形はほぼ球形である」…ポアンカレ予想
による「宇宙の解明図」の絵が載っていて…説明
…1⃣無限に伸びるロープを地球に結んだ宇宙船が、
宇宙のすみずみまで飛び回ったとする…2⃣宇宙船
が地球に戻ったあと、ロープを回収できれば宇宙
はほぼ球形だと考えられる…ということなのです
…そしてこの100年間解けなかった難題を2003
年に解いたのが…ロシアの数学者ペレルマンです。

数学の「実際」に疎い自分としては「夢中夢」と
そうは変わらない「こわいこと」(わかること)だ
とも思われます…こんなことを予想(夢想)して
自身も証明できず…100年間挑んだ天才数学者
たちにも果たせず…遂に証明された「正夢」の話。

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4月8日は「花祭」= 灌仏 会(かんぶつ え)です…
生誕の時代に諸説(紀元前4C~前11C迄)のある
「釈迦」(おしゃかさま:のちの仏陀ブッダ)の
誕生日です… 降誕会・仏生会・浴仏会・龍華会・
花会式など別名が沢山あります…全て晩春の季語…
時を遥か遥かに越え夢の夢の如く生き続ける釈迦。


【花まつり夢の中また夢をみた】


[追記&追句]
4月8日は高浜虚子の忌日「虚子忌」
でもありました… 本名は高浜「清」
1959(昭和34)年に85歳で鬼籍に…。

【たけを師の訃報虚子忌に届きけり】


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